As always, it is a matter of context. The answer "la piécette triangulaire" comes from a high-end glove manufacturer while the "cale de préhension" is from a site selling boxing gloves. I couldn't find a picture for the "montage languette." My suspicion is that it is not a triangular piece of fabric but a rectangular strip of fabric.

Dans le cas d'une couture en surjet, le montage du gant respecte un ordre précis. Dans un premier temps, le pouce est fixé à l'emplacement laissé béant lors du passage dans la main de fer.

**La piécette triangulaire,** qui laisse au pouce une plus grande liberté par rapport à celle des doigts, est montée dans un second temps. Viennent ensuite les fourchettes, ces fines lanières de cuir donnant une épaisseur au doigt.
http://editeur.irisnet.fr/morand/pages/communes/SousMenu.asp...

Gants De Boxe Sdi 8oz (Matériel de sport)--- Description : Protections sur la paume et le poignet - mousse préformée - pouce attaché - cale de préhension
http://www.priceminister.com/offer/buy/17665197/Gants-De-Box...

Pouce montage languette
http://www.gbknives.com/documents/hygiene/gants.html

LA DECOUPE POUCE/INDEX ---La découpe pouce/index pour un confort idéal ainsi qu'une durabilité supérieure: pas de tension aux coutures.
http://www.goalkeepersclub.com/fr/Annexes/Taille.asp

Coupe anatomique préformée, construction en nylon Super mesh et néoprène, découpe anatomique de la paume en clarino, soufflets de flexion aux phalanges, ajustement des doigts en lycra, pads rubber de renfort dans la paume et au pouce, poignet ajustable par velcro, impression silicone des doigts pour un meilleur grip, injection directe et patchs rubber de finition.
http://www.londinieres.com/PBSCCatalog.asp?PGFLngID=0&ItmID=...

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Note added at 7 hrs (2006-05-31 19:06:40 GMT)
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GLOVE ASSEMBLY---The quirck [sic] is seamed to the thumb, the thumb to the inner part of the glove and the six “fourchettes” to both sides of the glove.
http://www.ctc.fr/faq/bd/the_glove_a_second_skin/5_glove_ass...

LE MONTAGE DU GANT OU L'ASSEMBLAGE---La Couture ou piquage à l'envers : la piècette sera cousue au pouce, le pouce à la main interne et les six fourchettes aux deux faces du gant.
http://www.ctc.fr/faq/bd/le_gant_un_signe_de_la_main/5_le_mo...

your friend's problem is that she's got the whole "quirk" thing a bit backwards. "Quirk" as a name for that handy (yuk yuk) little piece of cloth or leather between the fingers of gloves is actually a derivative of, rather than the source of, the use of "quirk" to mean "peculiarity or idiosyncrasy."

The origin of the word "quirk" itself is, unfortunately, a mystery, but we do know that it first appeared in English around 1565 meaning "a verbal trick" or "an evasion." In "Much Ado About Nothing" (1599), Shakespeare used "quirk" to mean "a witty quip," and by "Twelfth Night," written in 1601, he was using it in our modern sense to mean "a peculiarity of behavior."

The underlying sense of a "quirk" being "a sudden turn or abnormality" subsequently led to its being used as a name for a variety of small, odd things, including a sudden curve or flourish in a drawing, a small, regular pattern in stockings, and, as of 1688, that little bit of fabric between the fingers of a glove.
http://www.word-detective.com/071000.html